Question

已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p²+q²+r²≥3．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法

专题：计算题,证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a-b|，当且仅当ab≤0，取等号；
（2）由柯西不等式：（a²+b²+c²）（d²+e²+f²）≥（ad+be+cf）²，即可证得．

解答： （1）解：∵|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
当且仅当-1≤x≤2时，等号成立，
∴f（x）的最小值为3，即a=3；
（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，
∴由柯西不等式得，（p²+q²+r²）（1²+1²+1²）≥（p×1+q×1+r×1）²
=（p+q+r）²=3²=9，
即p²+q²+r²≥3．

点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．