Question

在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．
（Ⅰ）若

PA

+

PB

+

PC

=

0

，求|

OP

|；
（Ⅱ）设

OP

=m

AB

+n

AC

（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义,平面向量的坐标运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）先根据

PA

+

PB

+

PC

=

0

，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；
（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出

AB

，

AC

，再根据

OP

=m

AB

+n

AC

，表示出m-n=y-x，最后结合图形，求出m-n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），

PA

+

PB

+

PC

=

0

，
∴（1-x，1-y）+（2-x，3-y）+（3-x，2-y）=0
∴3x-6=0，3y-6=0
∴x=2，y=2，
即

OP

=（2，2）
∴|

OP

|=

22+22

=2

2

（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴

AB

=(1，2)，

AC

=(2，1)
∵

OP

=m

AB

+n

AC

，
∴（x，y）=（m+2n，2m+n）
∴x=m+2n，y=2m+n
∴m-n=y-x，
令y-x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
故m-n的最大值为1．

点评：本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，