Question

设a₁，a₂，a₃均为正数，λ₁＜λ₂＜λ₃，则函数f（x）=

a1

x-λ1

+

a2

x-λ2

+

a3

x-λ3

的两个零点分别位于区间（　　）

• A、（-∞，λ₁）∪（λ₁，λ₂）内
• B、（λ₁，λ₂）∪（λ₂，λ₃）内
• C、（λ₂，λ₃）∪（λ₃，+∞）内
• D、（-∞，λ₁）∪（λ₃，+∞）内

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：整理函数f（x），令g（x）=a₁（x-λ₂）（x-λ₃）+a₂（x-λ₁）（x-λ₃）+a₃（x-λ₁）（x-λ₂），由函数零点存在判定定理可知：在区间（λ₁，λ₂），（λ₂，λ₃）内分别存在一个零点；又函数g（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．

解答： 解：f（x）=

a1

x-λ1

+

a2

x-λ2

+

a3

x-λ3

=

a1(x-λ2)(x-λ3)+a2(x-λ1)(x-λ3)+a3(x-λ1)(x-λ2)

(x-λ1)(x-λ2)(x-λ3)

令g（x）=a₁（x-λ₂）（x-λ₃）+a₂（x-λ₁）（x-λ₃）+a₃（x-λ₁）（x-λ₂），
∵λ₁＜λ₂＜λ₃，
∴g（λ₁）=a₁（λ₁-λ₂）（λ₁-λ₃）＞0，
g（λ₂）=a₂（λ₂-λ₁）（λ₂-λ₃）＜0，
g（λ₃）=a₃（λ₃-λ₁）（λ₃-λ₂）＞0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间（λ₁，λ₂），（λ₂，λ₃）内分别存在一个零点；
又函数g（x）是二次函数，最多有两个零点，
因此函数g（x）的两个零点分别位于区间（λ₁，λ₂），（λ₂，λ₃）内．
故函数f（x）=

a1

x-λ1

+

a2

x-λ2

+

a3

x-λ3

的两个零点分别位于区间（λ₁，λ₂），（λ₂，λ₃）内．
故选：B．

点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，根据函数的解析式求函数的值，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．