Question

已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξ_i（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p_i（i=1，2）．
则（　　）

• A、p₁＞p₂，E（ξ₁）＜E（ξ₂）
• B、p₁＜p₂，E（ξ₁）＞E（ξ₂）
• C、p₁＞p₂，E（ξ₁）＞E（ξ₂）
• D、p₁＜p₂，E（ξ₁）＜E（ξ₂）

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P₁，P₂和E（ξ₁），E（ξ₂）进行比较即可．

解答： 解析：P1=

m

m+n

+

n

m+n

×

1

2

=

2m+n

2(m+n)

，P2=

C 2 m

C 2 m+n

×1+

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

×

2

3

+

C 2 n

C 2 m+n

×

1

3

，
P1-P2=

n(m+n-1)

6(m+n)(m+n-1)

＞0，所以P₁＞P₂；
由已知ξ₁的取值为1、2，ξ₂的取值为1、2、3，
所以，E(ξ1)=1×

n

m+n

+2×

m

m+n

=

2m+n

m+n

，E(ξ2)=3×

C 2 m

C 2 m+n

+2×

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

+1×

C 2 n

C 2 m+n

=

3m2+n2+4mn-3m-n

(m+n)(m+n-1)

，
E（ξ₁）-E（ξ₂）=

2m+n

m+n

-

3m2+n2+4mn-3m-n

(m+n)(m+n-1)

=-

m

m+n

＜0．
故选A

点评：正确理解ξ_i（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．