Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，∠F₁PF₂=60°，设

|PF1|

|PF2|

=λ
（I）当λ=2时，求椭圆离心率e；
（II）当椭圆离心率最小时，PQ为过椭圆右焦点F₂的弦，且|PQ|=

16

5

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（I）由

|PF1|

|PF2|

=2，|PF₁|+|PF₂|=2a，知|PF1| =

4

3

a，|PF₂|=

2

3

a，再由cos∠F₁PF₂=

(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|

2|PF1| |PF2|

=

1

2

，能够推导出椭圆离心率e．
（II）由题设知

|PF1 =λ|PF2 |PF1 +|PF2 =2a

，故

|PF1 = λ 1+λ •2a |PF2 = 1 1+λ •2a

，再由cos∠F₁PF₂=

(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|

2|PF1| |PF2|

=

1

2

，知

4a2-4c2

λ (1+λ)2 •4a2

=3，由此结合|PQ|=

16

5

，能够求出椭圆的方程．

解答：（I）解：

|PF1|

|PF2|

=2，∴|PF₁|=2|PF₂|，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，∴|PF1| =

4

3

a，|PF₂|=

2

3

a，
cos∠F₁PF₂=

(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|

2|PF1| |PF2|

=

1

2

，
∴

4a2-4c2

2• 8 9 a2

=

3

2

，∴

c2

a2

=

1

3

，∴e=

3

3

．
（II）解：

|PF1 =λ|PF2 |PF1 +|PF2 =2a

?

|PF1 = λ 1+λ •2a |PF2 = 1 1+λ •2a

，
cos∠F₁PF₂=

(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|

2|PF1| |PF2|

=

1

2

，
∴

4a2-4c2

λ (1+λ)2 •4a2

=3，∴1-e2=

3λ

(1+λ)2

，∴e2=1-

3λ

1+2λ+λ2

=1-

3

1 λ +2+λ

≥1-

3

4

=

1

4

．
取等号时，λ=1，|PF2| =

1

1+λ

•2a=a，
∴p（0，b），k=-

b

c

=-

3

，∴

x2 4c2 + y2 3c2 =1 y=- 3 (x-c)

，
∴5x²-8cx=0，∴x1+x2=

8c

5

，
|PQ|=2a-e(x1+x2)  =4c-

1

2

• 

8c

5

=

16

5

，
∴c=1，∴

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地选用公式．