【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)当时,讨论函数
的单调性;
(Ⅱ)若,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】见解析
【解析】
(Ⅰ), ………………1分
当时,令
得
或
, ………………3分
(1)当时,
,此时令
,得
或
;令
,得
;
(2)当时,
,
;
(3)当时,
,此时令
,得
或
;
令,得
,…6分
综上,当时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;当
时,
在
上为增函数;当
时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
. ………………8分
(Ⅱ)若,
恒成立,即
,
化简分离参数得对
恒成立,令
,只需
即可, ……10分
,在
上有唯一极小值为
,则
, ……12分
所以,故实数
的取值范围为
. ………………13分
【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值、导数与函数的单调性、不等式恒成立以及函数的定义域等,考查分离参数法、函数与方程思想、分类讨论思想以及基本的运算能力和逻辑推理能力等,是较难题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】人最宝贵的是生命,然而有时候最不善待生命的恰恰是人类自己,在交通运输业发展迅猛的今天,由于不懂得交通法规,以及人们的交通安全观念和自我保护意识还没有跟上时代的步伐,那些在交通复杂多变的地方而引发的交通事故也是接连不断.为了警示市民,某市对近三年内某多发事故路口在每天时间段内发生的480次事故中随机抽取100次进行调研,数据按事发时间分成8组:
(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求图中的值,并根据频率分布直方图估计这480次交通事故发生在时间段
与
的次数;
(Ⅱ)在抽出的100次交通事故中按时间段采用分层抽样的方法抽取10次进行个案分析,再从这10次交通事故中选取3次交通事故作重点专题研究.记这3次交通事故中发生时间在与
的次数为
,求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线的极坐标方程是
,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在平面直角坐标系
中,直线
经过点
,倾斜角
.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的参数方程;
(2)设与曲线
相交于
,
两点,求
的值.
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【题目】《中国诗词大会》是中央电视台最近推出的一档有重大影响力的大型电视文化节目,今年两会期间,教育部部长陈宝生答记者问时就给予其高度评价.基于这样的背景,山东某中学积极响应,也举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后,从中抽取了部分选手的成绩(百分制),作为样本进行统计,作出了图1的频率分布直方图和图2的茎叶图(但中间三行污损,看不清数据).
(I)求样本容量和频率分布直方图中的
,
的值;
(II)分数在[80,90)的学生中,男生有2人,现从该组抽取三人“座谈”,写出基本事件空间并求至少有两名女生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 (a﹣ccosB)=bsinC.
(1)求角C的大小;
(2)若c=2,则当a,b分别取何值时,△ABC的面积取得最大值,并求出其最大值.
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【题目】如图,已知抛物线:
,过焦点
斜率大于零的直线
交抛物线于
、
两点,且与其准线交于点
.
(Ⅰ)若线段的长为
,求直线
的方程;
(Ⅱ)在上是否存在点
,使得对任意直线
,直线
,
,
的斜率始终成等差数列,若存在求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4;坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线
.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程.
(Ⅱ)求曲线上的点到直线
的距离的最大值.
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【题目】如图,在直角坐标系中,圆
与
轴负半轴交于点
,过点
的直线
,
分别与圆
交于
,
两点.
(Ⅰ)若,
,求
的面积;
(Ⅱ)若直线过点
,证明:
为定值,并求此定值.
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