Question

设a∈R,函数f(x)=x·|x-a|+2x.

(1) 若a=2,求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值;

(2) 若a>2,写出函数f(x)的单调区间(不必证明);

(3) 若存在a∈[-2,4],使得关于x的方程f(x)=t·f(a)有3个不相等的实数解,求实数t的取值范围.

Answer 1

 (1) 当a=2,x∈[0,3]时,f(x)=x·|x-2|+2x=

作函数图象(图象略),可知函数f(x)在区间[0,3]上是单调增函数,所以f(x)的最大值为f(3)=9.

(2) f(x)=

①当x≥a时,f(x)=-,

因为a>2,所以<a,

所以函数f(x)在[a,+∞)上单调递增.

②当x<a时,f(x)=-+,

因为a>2,所以<a,所以函数f(x)在-∞,上单调递增,在上单调递减.

综上,函数f(x)的单调增区间是和[a,+∞),单调减区间是.

(第11题)

(3) ①当-2≤a≤2时,≤0,≥0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,

关于x的方程f(x)=t·f(a)不可能有三个不相等的实数解.

②当2<a≤4时,由(2)知函数f(x)在区间和[a,+∞)上分别是增函数,在区间上是减函数,所以当且仅当2a<t·f(a)<时,方程f(x)=t·f(a)有三个不相等的实数解,

即1<t<=.

令g(a)=a+,g (a)在a∈(2,4]时是增函数,故g(a)max=5,

所以,实数t的取值范围是.