【题目】设函数.
(1)若,求
的单调区间;
(2)若,讨论
当
时的零点的个数.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)由解析式求出定义域和,化简后对
进行分类讨论,根据导数与函数单调性的关系,分别求出函数的增区间、减区间;(2)由(1)求函数的最小值,由条件列出不等式求出
的范围,对
进行分类讨论,并分别判断在区间
上的单调性,求出
和
判断出符号,即可得结论.
试题解析:(1),
①,
,
,
增.
②,
,有
的增区间
.
,有
的减区间为
.
(2)①时,有
,在
单调递减,
,
,在
上有一个零点.
②时,有
,在
单调递减,
,在
上没有零点.
③时,有
,在
单调递减,在
单调递增,
,在
上没有零点.
④时,
,在
上单调递增,
在
上没有零点.
综上所述①在
上有一个零点,
②,在
上没有零点.
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【题目】已知直线的方程为
,点
是抛物线
上到直线
距离最小的点,点
是抛物线上异于点
的点,直线
与直线
交于点
,过点
与
轴平行的直线与抛物线
交于点
.
(Ⅰ)求点的坐标;
(Ⅱ)证明直线恒过定点,并求这个定点的坐标.
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【题目】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为
(1)求频率分布图中的值,并估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(2)从评分在的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在
的概率..
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【题目】如图,正方体中,
分别为
的中点.
(1)求证:平面⊥平面
;
(2)当点在
上运动时,是否都有
平面
,证明你的结论;
(3)若是
的中点,求
与
所成的角的余弦值.
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【题目】为了解学生身高情况,某校以的比例对全校1000名学生按性别进行分层抽样调查,已知男女比例为
,测得男生身高情况的频率分布直方图(如图所示):
(1)计算所抽取的男生人数,并估计男生身高的中位数(保留两位小数);
(2)从样本中身高在之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在
之间的概率.
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【题目】已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆,离心率为
且过点
,过定点
的动直线与该椭圆相交于
、
两点.
(1)若线段中点的横坐标是
,求直线
的方程;
(2)在轴上是否存在点
,使
为常数?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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