Question

【题目】如图，正方体中，分别为的中点.

（1）求证:平面⊥平面；

（2）当点在上运动时，是否都有平面，证明你的结论；

（3）若是的中点，求与所成的角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）连接AC，由正方形性质得AC⊥BD，又由正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB，BC的中点，易得MN∥AC，则MN⊥BD．BB1⊥MN，由线面垂直的判定定理，可得MN⊥平面BB1D1D，进而由面面垂直的判定定理，可得平面B1MN⊥平面BB1D1D；
（2）当点P在DD1上移动时，都有MN∥平面A1C1P．由线面平行的判定定理证明即可；
（3）设C1 C的中点为G，连接PG,B1G，即可说明∠GB1N即为A1P与B1N所成的角，在△GB1N中利用余弦定理求解即可.

试题解析：

（1）正方体中，平面，

平面，所以，

连接，因为分别为的中点，

所以,

又四边形是正方形，所以，所以，

因为，所以平面，

又因为平面，所以平面平面，

（2）当点在上移动时，都有平面，证明如下：

在正方体中，A1A∥C1C，且A1A=C1C，所以A1ACC1为平行四边形，

在正方体中，A1A∥C1C，且A1A=C1C，所以A1ACC1为平行四边形，

所以A1 C1∥A C，

由（1）知，MN∥A C，所以MN∥A1 C1 又

所以]

（3）设C1 C的中点为G，连接PG,B1G

又因为P是D1D的中点，所以PG∥C1D1且PG=C1D1，又A1B1∥C1D1且A1B1=C1D1

所以四边形A1B1GP为平行四边形，故A1P∥B1G且A1P=B1G

所以∠GB1N即为A1P与B1N所成的角

设正方体的棱长为2，所以在△GB1N中，B1G= B1N= ，GN=

所以cos∠GB1N=.