定义在R上的函数y=f(x)满足条件:f(x)不是常值函数,且f(2-x)=f(x)与f(x-1)=f(x+1)对任意x∈R成立,给出下列四个命题:
①f(x)为周期函数;②f(x)的图象关于直线x=1对称;③f(x)的图象关于y轴对称;④f(x)的图象关于原点成中心对称.其中所有正确命题的序号是________.
①②③
分析:在f(x)=f(2-x)中,令x=t+2:f(t+2)=f(-t),所以f(x+2)=f(-x),在f(x-1)=f(x+1)中,令x=t+1:f(t)=f(t+2),所以f(x)=f(x+2),故函数是周期为2的周期函数,f(x)的图象关于直线x=1对称,f(x)是偶函数;由f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)的图象关于y轴对称,知f(x)的图象不能关于原点成中心对称.
解答:在f(x)=f(2-x)中,令x=t+2:f(t+2)=f(-t),所以f(x+2)=f(-x)
在f(x-1)=f(x+1)中,令x=t+1:f(t)=f(t+2),所以f(x)=f(x+2),
∴函数是周期为2的周期函数,f(x)的图象关于直线x=1对称,故①和②正确;
由f(x+2)=f(-x)和f(x)=f(x+2),知:f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,故③正确;
∵f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)的图象关于y轴对称,
∴f(x)的图象不能关于原点成中心对称,故④不正确.
故答案为:①②③.
点评:本题考查命题的真假判断,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意函数的周期性和对称性的灵活运用.