【题目】已知函数f(x)= .
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设F(x)=m+f(x),求函数F(x)的最大值的表达式g(m).
【答案】(1)[,2];(2)g(m)= .
【解析】
(1)由 解不等式可得函数的定义域,先求得,结合,可得,结合即可得到函数的值域; (2) 令, 可得,根据二次函数的图象和性质,利用分类讨论思想即可得到结论.
(1)要使函数f(x)有意义,需满足 得-1≤x≤1.
故函数f(x)的定义域是{x|-1≤x≤1}.
∵[f(x)]2=2+2 ,且0≤≤1,
∴2≤[f(x)]2≤4,又∵f(x)≥0,
∴≤f(x)≤2,
即函数f(x)的值域为[,2].
(2)令f(x)=t,则t2=2+2,
则=t2-1,
故F(x)=m(t2-1)+t
=mt2+t-m,t∈[,2],
令h(t)=mt2+t-m,
则函数h(t)的图像的对称轴方程为t=-.
①当m>0时,- <0,函数y=h(t)在区间[,2]上递增,
∴g(m)=h(2)=m+2.
②当m=0时,h(t)=t,g(m)=2;
③当m<0时,- >0,若0<-≤,
即m≤-时,函数y=h(t)在区间[,2]上递减,
∴g(m)=h()=,
若<-≤2,即-<m≤-时,
g(m)=h(-)=-m-;
若->2,即-<m<0时,
函数y=h(t)在区间[,2]上递增,
∴g(m)=h(2)=m+2.
综上,g(m)=
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【题目】今年的西部决赛勇士和火箭共进行了七场比赛,经历了残酷的“抢七”比赛,两队的当家球星库里和杜兰特七场比赛的每场比赛的得分如下表:
第一场 | 第二场 | 第三场 | 第四场 | 第五场 | 第六场 | 第七场 | |
库里 | 26 | 28 | 24 | 22 | 31 | 29 | 36 |
杜兰特 | 26 | 29 | 33 | 26 | 40 | 29 | 27 |
(1)绘制两人得分的茎叶图;
(2)分析并比较两位球星的七场比赛的平均得分及得分的稳定程度.
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【题目】随着支付宝、微信等支付方式的上线,越来越多的商业场景可以实现手机支付.为了解各年龄层的人使用手机支付的情况,随机调查了50个人,并把调查结果制成下表:
(1)把年龄在称为中青年,年龄在称为中老年,请根据上表完成列联表,是否有以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联?
(2)若分别从年龄在、的被调查者中各随机选取2人进行调查,记选中的4人中使用手机支付的人数记为,求.
附:可能用到的公式:,其中
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系,将曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的参数方程;
(Ⅱ)过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、,且点在第一象限,当四边形的周长最大时,求直线的普通方程.
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【题目】甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解出此问题的概率是,乙解出此问题的概率是.求:
(1)甲、乙都解出此问题的概率;
(2)甲、乙都未解出此问题的概率;
(3)甲、乙恰有一人解出此问题的概率;
(4)至少有一人解出此问题的概率.
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【题目】已知函数,在区间上有最大值,最小值,设函数.
(1)求的值;
(2)不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)方程有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
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