Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n+

1

an

（n=1，2，…）．
（1）证明a_n＞

2n+1

对一切正整数n都成立；
（2）令b_n=

an

n

（n=1，2，…），判定b_n与b_n+1的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系即可证明a_n＞

2n+1

对一切正整数n都成立；
（2）根据数列的递推关系判断

bn+1

bn

＜1即可．

解答： （1）证法一：当n=1时，a₁=2＞

2×1+1

，不等式成立．
假设n=k时，a_k＞

2k+1

成立，
当n=k+1时，a_k+1²=a_k²+

1

ak2

+2＞2k+3+

1

ak 2

＞2（k+1）+1，
∴当n=k+1时，a_k+1＞

2(k+1)+1

成立．
综上，由数学归纳法可知，a_n＞

2n+1

对一切正整数成立．
证法二：当n=1时，a₁=2＞

3

=

2×1+1

结论成立．
假设n=k时结论成立，即a_k＞

2k+1

，
当n=k+1时，由函数f（x）=x+

1

x

（x＞1）的单调递增性和归纳假设有
a_k+1=a_k+

1

ak

＞

2k+1

+

1

2k+1

=

2k+1+1

2k+1

=

2k+2

2k+1

=

4k2+8k+4

2k+1

＞

(2k+3)(2k+1)

2k+1

=

2k+3

．
∴当n=k+1时，结论成立．
因此，a_n＞

2n+1

对一切正整数n均成立．
（2）解：

bn+1

bn

=

an+1 n+1

an n

=（1+

1

an2

）

n

n+1

＜（1+

1

2n+1

）

n

n+1

=

2(n+1) n

(2n+1) n+1

=

2 n(n+1)

2n+1

=

(n+ 1 2 )2- 1 4

n+ 1 2

＜1．
故b_n+1＜b_n．

点评：本题主要考查数列和不等式的综合应用，考查学生的运算能力．