Question

15．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）-2x＜0的解集为（-1，2）．
（1）若函数y=f（x）+3a有零点，求a的取值范围；
（2）a如何取值时，函数y=f（x）-（x²-ax+m）其中m＞1存在零点，并求出零点．

Answer 1

分析 根据题意，求出二次函数f（x）的解析式，用a表示系数且a≠0；
（1）当函数y=f（x）+3a有零点时，△≥0，由此求出a的取值范围；
（2）讨论a=1和a≠1时，函数y=f（x）-（x²-ax+m）是否有零点，并求出对应函数的零点．

解答 解：二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
不等式f（x）-2x＜0可化为ax²+（b-2）x+c＜0，
且解集为（-1，2），
所以对应方程ax²+（b-2）x+c=0的两个实数根为-1和2，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1+2=-\frac{b-2}{a}}\\{-1×2=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$，
解得c=-2a，b=2-a，
所以f（x）=ax²+（2-a）x-2a；
（1）当函数y=f（x）+3a=ax²+（2-a）x+a有零点时，
△=（2-a）²-4a²≥0，
即3a²+4a-4≤0，
解得-2≤a≤$\frac{2}{3}$；
又a≠0，
所以a的取值范围是[-2，0）∪（0，$\frac{2}{3}$]；
（2）函数y=f（x）-（x²-ax+m）
=ax²+（2-a）x-2a-（x²-ax+m）
=（a-1）x²+2x-（2a+m），
当a=1时，f（x）=2x-（2+m）=0，存在零点是x=$\frac{m}{2}$+1；
当a≠1时，△=4+4（a-1）（2a+m）≥0，即2a²+a（m-2）-m+1≥0，
又m＞1，所以a＜$\frac{-（m-2）-\sqrt{{m}^{2}+4m-4}}{4}$或a＞$\frac{-（m-2）+\sqrt{{m}^{2}+4m-4}}{4}$且a≠1时，函数存在零点，
且零点为x=$\frac{-2±\sqrt{{2a}^{2}+a（m-2）-m+1}}{2（a-1）}$．

点评 本题考查了二次函数的性质与应用问题，也考查了函数的零点与方程的解的应用问题，是基础题目．