Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcos（$\frac{π}{3}$-C）=a+c
（1）求角B的大小；
（2）若D点为BC中点，且AD=AC=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理可得2sinBcos（$\frac{π}{3}$-C）=sinA+sinC，由两角差的余弦公式和诱导公式，化简整理，结合二倍角公式，即可得到角B的值；
（2）取BC的中点H，连接AH，则AH⊥BC，设BD=t，则DC=t，DH=$\frac{t}{2}$，运用直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义，解方程可得t的值，进而得到AB，BC，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由正弦定理可得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
即有2sinBcos（$\frac{π}{3}$-C）=sinA+sinC，
化为2sinB（$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC）=sin（B+C）+sinC，
即sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC（sinC＞0），
即有$\sqrt{3}$sinB=cosB+1，
即为2$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2cos²$\frac{B}{2}$，
可得tan$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\frac{B}{2}$=$\frac{π}{6}$，
解得B=$\frac{π}{3}$；
（2）取BC的中点H，连接AH，则AH⊥BC，
设BD=t，则DC=t，DH=$\frac{t}{2}$，
在直角三角形ADH中，可得AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{{t}^{2}}{4}}$，
在直角三角形ABH中，可得AH=BHtan$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$t，
由$\sqrt{4-\frac{{t}^{2}}{4}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$t，解得t=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
则AB=$\frac{BH}{cos\frac{π}{3}}$=2BH=3t=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$，BC=2t=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
即有△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$AB•BC•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{6\sqrt{7}}{7}$×$\frac{4\sqrt{7}}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{6\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，以及解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题．