Question

5．已知函数f（x）=e^x-cx-c（c为常数，e是自然对数的底数），f′（x）是函数y=f（x）的导函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当c＞1时，试求证：
①对任意的x＞0，不等式f（lnc+x）＞f（lnc-x）恒成立；
②函数y=f（x）有两个相异的零点．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，讨论c的范围：当c≤0时，当c＞0时，解不等式即可得到所求单调区间；
（2）①作差可得，f（lnc+x）-f（lnc-x）=c（e^x-e^-x-2x），设g（x）=e^x-e^-x-2x，x＞0，求出导数g′（x），运用基本不等式判断单调性，即可得证；
②求出f（x）的导数，求得单调区间和极小值，且为最小值，判断小于0，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-cx-c的导数为f′（x）=e^x-c，
当c≤0时，f′（x）＞0恒成立，可得f（x）的增区间为R；
当c＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lnc；由′（x）＜0，可得x＜lnc．
可得f（x）的增区间为（lnc，+∞）；减区间为（-∞，lnc）；
（2）证明：①f（lnc+x）-f（lnc-x）
=e^lnc+x-c（lnc+x）-c-e^lnc-x+c（lnc-x）+c=c（e^x-e^-x-2x），
设g（x）=e^x-e^-x-2x，x＞0，g′（x）=e^x+e^-x-2，
由x＞0可得e^x+e^-x-2＞2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-2=0，
即g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，可得g（x）＞g（0）=0，
又c＞1，则c（e^x-e^-x-2x）＞0，
可得不等式f（lnc+x）＞f（lnc-x）恒成立；
②函数f（x）=e^x-cx-c的导数为f′（x）=e^x-c，
c＞1时，f（x）的增区间为（lnc，+∞）；减区间为（-∞，lnc），
可得x=lnc处f（x）取得极小值，且为最小值，
由f（lnc）=e^lnc-clnc-c=c-clnc-c=-clnc＜0，
且x→∞时，f（x）→+∞，f（-1）=e^-1+c-c＞0，
可得f（x）=0有两个不等的实根．
则函数y=f（x）有两个相异的零点．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明和函数零点的求法，注意运用构造函数法和基本不等式，以及转化思想，考查运算能力，属于中档题．