Question

已知函数f（x）=

2

sin（x-

π

12

），x∈R
（Ⅰ）直接写出f（x）的最大值及对应的x的集合；
（Ⅱ）若sinθ=-

4

5

，θ∈（

3π

2

，2π），求f（2θ+

π

3

）．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）对于函数f（x），当x-

π

12

=2kπ+

π

2

，k∈z时，f（x）取得最大值为

2

，由此得出结论．
（Ⅱ）由条件求得cosθ=

3

5

，再利用二倍角公式求得sin2θ和cos2θ的值，从而利用两角和的正弦公式求得f（2θ+

π

3

）=

2

sin（2θ+

π

4

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）对于函数f（x）=

2

sin（x-

π

12

），当x-

π

12

=2kπ+

π

2

，k∈z时，f（x）取得最大值为

2

，
即当x=2kπ+

7π

12

，k∈z时，f（x）取得最大值为

2

．
（Ⅱ）∵sinθ=-

4

5

，θ∈（

3π

2

，2π），∴cosθ=

3

5

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=-

24

25

，cos2θ=2cos²θ-1=-

7

25

．
∴f（2θ+

π

3

）=

2

sin（2θ+

π

3

-

π

12

）=

2

sin（2θ+

π

4

）=

2

sin2θ•

2

2

+

2

cos2θ•

2

2

 
=sin2θ+cos2θ=-

31

25

．

点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，二倍角公式的应用，两角和的正弦公式，属于基础题．