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    已知点A(1，0)，(B，0)和互不相同的点P1，P2，P3，…，Pn，…，满足，其中{an}、{bn}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点.

    (Ⅰ)求a1，b1的值；

    (Ⅱ)点P1，P2，P3，…，Pn，…能否共线？证明你的结论；

    (Ⅲ)证明：对于给定的公差不零的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在一个指数函数的图象上．

    答案：
    解析：

    　　解：(Ⅰ)是线段的中点　　　　1分

    　　又，且不共线，

    　　由平面向量基本定理，知：　　　　　　　　3分

    　　(Ⅱ)由　　　

    　　设的公差为，的公比为，则由于，，，…，，…互不相同，所以，不会同时成立；　　　　　　　　　　　　　　　4分

    　　若，则，

    　　，，，…，，…都在直线上；　　　　　　5分

    　　若，则为常数列，

    　　，，，…，，…都在直线上；　　　　　　　6分

    　　若且，，，，…，，…共线

    　　与共线()

    　　

    　　

    　　

    　　与矛盾，

    　　∴当且时，，，，…，，…不共线．　　　　9分

    　　(Ⅲ)设都在指数函数的图像上，则

    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

    　　令，则，　　　　　　　　　　　　　　11分

    　　于是，有唯一解，　　　　　　　13分

    　　由于，，从而满足条件“，，，…，，互不相同”．

    　　∴当对于给定的，都能找到唯一的一个，使得，，，…，，…，都在指数函数的图象上．　　　　　　　　　　　　　　　　14分


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