Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx-sin2x-

3

2

，求
（1）函数f（x）的最小值及此时的x的集合．
（2）函数f（x）的单调减区间
（3）函数f（x）在[-

π

2

，0]上的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角的正弦公式和余弦公式降幂，然后化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式，则最小值可求，由角2x+

π

6

的终边落在y轴负半轴上求解x的取值集合；
（2）直接由复合函数的单调性求解函数f（x）的单调减区间；
（3）由x的范围求得2x+

π

6

的范围，从而得到函数f（x）在[-

π

2

，0]上的值域．

解答： 解：（1）f(x)=

3

sinxcosx-sin2x-

3

2

=

3

2

×2sinxcosx-

1-cos2x

2

-

3

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x-2
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

-2
=sin(2x+

π

6

)-2．
∴函数f（x）的最小值为-3，此时2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z．
即x=kπ-

π

3

，k∈Z．
∴使函数f（x）取最小值的x的集合为{x|x=kπ-

π

3

，k∈Z}；
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
得

π

3

+2kπ≤2x≤

4π

3

+2kπ，k∈Z，即

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．
（3）∵-

π

2

≤x≤0，∴-π≤2x≤0，-

5π

6

≤2x+

π

6

≤

π

6

，
则-1≤sin(2x+

π

6

)≤

1

2

，
∴-3≤sin(2x+

π

6

)-2≤-

3

2

．
∴函数f（x）在[-

π

2

，0]上的值域为[-3，-

3

2

]．

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换的应用，关键是利用二倍角的三角函数公式降幂，考查了三角函数的最值的求法，训练了与三角函数有关的复合函数的单调区间的求法，是中档题．