Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA＝CB，AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°．

（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB＝CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

(I)见解析；(II).

解析试题分析：（I）取得中点，连接，,，由此可证，平面，进而可得；（II）易证，,两两垂直，以坐标原点，的方向为轴的正向，建立空间直角坐标系，可得,,的坐标，设是平面的一法向量，求出法向量，继而求得，即为所求角的正弦值.
试题解析：（I）取得中点，连接，,
因为，所以,由于,
所以为等边三角形，所以，
又因为,所以平面，
又平面，故；
（II）由（Ⅰ）知，，
又∵面面，面面，∴面，∴，
∴, 两两相互垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，设

有题设知(1,0,0),(0,,0),(0,0,),(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,),
设=是平面的法向量，
则，即，可取