Question

数列{a_n}满足a₁=

4

3

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），则m=

1

a1

+

1

a2

…+

1

a2014

的整数部分是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由a₁=

4

3

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），可得a_n+1-a_n＞0，得到数列{a_n}单调递增．再变形为a_n+1-1=a_n（a_n-1），即

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
也即

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

．利用“裂项求和”可得m，再利用其单调性即可得出m的整数部分．

解答： 解：∵a₁=

4

3

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），∴an+1-an=(an-1)2＞0，∴a_n+1＞a_n，
∴数列{a_n}单调递增．
∴a_n+1-1=a_n（a_n-1）＞0，
∴

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=（

1

a1-1

-

1

a2-1

）+（

1

a2-1

-

1

a3-1

）+…+（

1

an-1

-

1

an+1-1

）=

1

a1-1

-

1

an+1-1

，
∴m=S2014=3-

1

a2015

．
∵a₁=

4

3

，∴a2=(

4

3

)2-

4

3

+1=

13

9

，a3=(

13

9

)2-

13

9

+1=

133

81

，a4=(

133

81

)2-

133

81

+1＞2…
∴a₂₀₁₅＞a₂₀₁₄＞…＞a₄＞2，
∴a₂₀₁₅-1＞1，∴0＜

1

a2015-1

＜1，
∴2＜3-

1

a2015-1

＜3．
因此m的整数部分是2．
故答案为：2．

点评：本题考查了通过恰当变形转化为“裂项求和”、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．