Question

过抛物线y²=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，求△AOB的面积．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据抛物线的定义方程求解得出：A（2，2

2

），即直线AF的方程为y=2

2

（x-1）．
立直线与抛物线的方程

y=2 2 (x-1) y2=4x

B（

1

2

，-

2

），运用S_△AOB=

1

2

|OF|•|y_A-y_B|求解即可．

解答： 解：如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为（1，0），
又|AF|=3，由抛物线定义知：点A到准线x=-1的距离为3，
∴点A的横坐标为2．
将x=2代入y²=4x得y²=8，由图知点A的纵坐标y=2

2

，
∴A（2，2

2

），
∴直线AF的方程为y=2

2

（x-1）． 
联立直线与抛物线的方程

y=2 2 (x-1) y2=4x

解之得 

x= 1 2 y=- 2

或

x=2 y=2 2

由图知B（

1

2

，-

2

），
∴S_△AOB=

1

2

|OF|•|y_A-y_B|=

1

2

×1×|2

2

+

2

|=

3

2

2

．

点评：本题考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，运用方程组求解即可，属于中档题．