Question

3．直线l：2x+2y-1=0，抛物线C：y=$\frac{1}{2}$ax²的准线及直线x=0围成面积为$\frac{1}{32}$的一个三角形，则抛物线C：y=$\frac{1}{2}$ax²的焦点坐标为（0，-$\frac{1}{4}$）或（0，-$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 抛物线C：y=$\frac{1}{2}$ax²即为x²=$\frac{2}{a}$y，则其准线方程为y=-$\frac{1}{2a}$，其焦点坐标为（0，$\frac{1}{2a}$），再根据三角形的面积公式可得$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$|•|$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{32}$，求出a的值，问题得以解决．

解答 解：抛物线C：y=$\frac{1}{2}$ax²即为x²=$\frac{2}{a}$y，则其准线方程为y=-$\frac{1}{2a}$，其焦点坐标为（0，$\frac{1}{2a}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2a}}\\{2x+2y-1=0}\end{array}\right.$，解得y=-$\frac{1}{2a}$，x=$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2}$，
由2x+2y-1=0，令x=0，解得y=$\frac{1}{2}$
则三角形的面积为$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$|•|$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{32}$，
解得a=-2，或a=-$\frac{2}{3}$，
则其焦点坐标为（0，-$\frac{1}{4}$）或（0，-$\frac{3}{4}$）
故答案为：（0，-$\frac{1}{4}$）或（0，-$\frac{3}{4}$）

点评 本题考查了抛物线和简单性质以及三角形的面积公式，考查了运算能力，属于基础题．