【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的单调减区间;
(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,试问过点可作的几条切线?并说明理由.
【答案】(1)单调减区间为(2)(3)当时,切线有一条;当时,切线有两条,详见解析
【解析】
(1)对求导得到,令,得到的范围,从而得到的单调区间;
(2)令,求导得到,令,分,,,研究的正负,即的正负,从而得到的单调性,再判断与的关系,从而得到的范围;
(3)切点为,利用导数的几何意义表示出过的切线,代入点坐标得到,令,分,讨论的正负,从而得到的单调性,再研究其零点,从而得到切点的个数和切线的条数.
解:(1)时,,
,
令,则,所以的单调减区间为.
(2)令,
,
令,∵,又,
①当时,,在上恒成立,
∴在上单调递减,成立;
②当时,,,,
∴在上单调递减,成立;
③当时,,∴在上有唯一零点,记为,
且在上递减,在上递增,
∴当时,,不成立.
综上:.
(3)设过的切线的切点为,则,
切线方程为,
又切线过,得,
即,
令,,
①当时,,在上递减,
由,,
所以只有一解,即切线只有一条;
②当时,令,,
由在上单调递减,在递增,
又,所以,
一方面:∵,
∵,又,∴,∴,
∴在上有零点;
另一方面:由(2)知对恒成立,
∴对恒成立,
∴当时,有
,
∴,又时,,∴,
∴在上有零点,故有两个零点,即切线有两条.
综上,当时,切线有一条;当时,切线有两条.
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【题目】设函数(a,bR).
(1)当b=﹣1时,函数有两个极值,求a的取值范围;
(2)当a+b=1时,函数的最小值为2,求a的值;
(3)对任意给定的正实数a,b,证明:存在实数,当时,.
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【题目】在2019年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了3种精美海报,每份中国队球迷礼包中随机装入一份海报,每集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛中的1张门票.现有6名中国队球迷组成的球迷团,每人各买一份中国队球迷礼包,则该球迷团至少获得1张门票的可能情况的种数为( )
A.360B.450C.540D.990
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,以轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点,分别是曲线,上两动点且,求面积的最大值.
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【题目】已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,过点的直线交抛物线于两点,线段的中点为,且满足.
(1)若直线的斜率为1,求点的坐标;
(2)若,求四边形面积的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程,点在直线上,直线与曲线交于两点.
(1)求曲线的普通方程及直线的参数方程;
(2)求的面积.
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