Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆，以为圆心的圆记为圆，已知圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为21.

（1）求圆的标准方程；

（2）求过点且与圆相切的直线的方程；

（3）已知直线与轴不垂直，且与圆，圆都相交，记直线被圆，圆截得的弦长分别为，.若，求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.

【解析】

（1）因为，可得圆为圆心，半径为，设为圆心的圆记为圆，设半径为，由圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为，可得，即可求得圆方程，即可求得答案；

（2）分别讨论切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况，当切线的斜率存在时，设直线方程为，设直线到圆的距离为，由直线和圆相切，可得，求得,即可求得答案；

（3）设直线的方程为，求得圆心，圆心到直线的距离分别为，，根据几何关系可得：，，结合，即可求得和关系式，即可求得方程，进而求得直线过定点.

（1）

圆为圆心，半径为

设为圆心的圆记为圆，设半径为

由圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为.

可得

解得

圆的标准方程为.

（2）①当切线的斜率不存在时，直线方程为符合题意；

②当切线的斜率存在时，

设直线方程为，

即，

直线和圆相切，

设直线到圆的距离为

，

解得，从而切线方程为.

故切线方程为或

（3）设直线的方程为，

则圆心，圆心到直线的距离分别为，，

几何关系可得：，

，.

由，得，

整理得，故，

即或，

直线为或，

直线过点定点或直线过定点.