Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠APC＝90°，∠BPD＝120°，PB＝PD．

（1）求证：平面APC⊥平面BPD；

（2）若AB＝2AP＝2，求三棱锥C-PBD的体积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）记与交点为，利用，证得线面垂直，从而可证得面面垂直；

（2）设，利用求得，从而得的长度，过作，垂足为，由（1）可证就是四棱锥的高，求出这个高及底面面积, 用换底法可得体积．

（1）证明：记与交点为，∵，为的中点，∴，又∵为菱形，∴．

∵和是平面内两条相交直线，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（2）设，∵，∴，又，所以，所以，因为，所以在中，由勾股定理得，，∴，∴．

过作，垂足为，由（1）知，平面，∴平面平面．又平面平面，所以平面．

在中，得，所以三棱锥的体积．