Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）令函数，若函数有且只有一个零点，试判断与3的大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)先求导，然后讨论的大小，继而求出函数的单调性

(2)对函数求二阶导数，求出函数的单调性，然后结合零点得到关于的表达式，构造新函数后运用导数确定新函数的单调性，继而得出关于零点问题

（1）,

①当，即时，时，，在上单调递增.

②当，即时，时，

时，.

所以在上单调递减，在单调递增.

（2）函数，

则，令

则，所以在上单调递增，

当且时，，时，

所以在上有唯一零点，

当时，，时，，所以为的最小值.

由已知函数有且只有一个零点，则，

所以，

，

令，

，

所以，，，，

所以在单调递减，

因为，，

所以在上有一个零点，在无零点，

若在有零点必小于3，

综上：.