Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当a＝3时，函数有且只有两个零点．

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析．

【解析】

（1）由，分和两种情况进行讨论得出函数的单调性.
（2）函数有且只有两个零点,即方程有且只有两个实数根，即有且只有两个实数根，设，求出导数，求出函数的单调区间，结合零点存在原理得出结论,使得问题得证.

解：（1）的定义域为，．

①时，，则在是单调递增；

②时，由得，当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

综上，时在是单调递增；

时，在单调递减，在单调递增．

（2）．，令，

则，令，

显然时，，

时，，所以在上单调递增.

,

易知存在唯一，使，且时，，即，单调递减；

时，，即，单调递增，

所以至多有两个零点．又，，，

故在区间和各有一个零点．所以函数有且只有两个零点．