Question

20．已知|$\overrightarrow{a}$=|$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=3$\sqrt{2}$．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；
（2）若（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$），求k的值．

Answer 1

分析 （1）对|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=3$\sqrt{2}$两边平方即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
（2）令（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）=0解出k．

解答 解：（1）∵，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=3$\sqrt{2}$．∴${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=18$，
∴3+5+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=18，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=5．
（2）∵（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$），∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）=0，
即2${\overrightarrow{a}}^{2}$-k${\overrightarrow{b}}^{2}$+（2k-1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴6-5k+5（2k-1）=0，解得k=-$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．