Question

10．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为x-$\sqrt{2}$y=0，P是C上一点，且|OP|的最小值等于2，则该双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 根据双曲线的渐近线以及|OP|的最小值等于2确定a=2和b，进行求解即可．

解答 解：∵在双曲线上，P是C上一点，且|OP|的最小值等于2，
∴此时最小值为a=2，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{b}{2}$x，
∵双曲线的一条渐近线的方程为x-$\sqrt{2}$y=0，
∴y=$\frac{1}{\sqrt{2}}x$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
则b=$\sqrt{2}$，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$

点评 本题主要考查双曲线方程的求解，根据条件建立方程求出a，b的值是解决本题的关键．