Question

5．三棱锥P-ABC，AB=BC=$\sqrt{15}$，AC=6，PC垂直于平面ABC，PC=2，则该三棱锥外接球的表面积$\frac{83}{2}$．

Answer 1

分析 根据已知条件得出△ABC的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．

解答 解：∵AB=BC=$\sqrt{15}$，AC=6，
∴cosC=$\frac{3}{\sqrt{15}}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}}$，
∴△ABC的外接圆的半径=$\frac{\sqrt{15}}{2•\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{4}$，
设三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为d，
则R²=d²+（$\frac{5\sqrt{6}}{4}$）²=（2-d）²+（$\frac{5\sqrt{6}}{4}$）²，
∴该三棱锥的外接球半径为R²=$\frac{83}{8}$，表面积为：4πR²=4π×$\frac{83}{8}$=$\frac{83}{2}$π，
故答案为：$\frac{83}{2}$．

点评 本题综合考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是关键，属于中档题．