Question

10．（1）已知a，b为正实数．求证：$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{a}$≥a+b；
（2）某题字迹有污损，内容是“已知|x|≤1，，用分析法证明|x+y|≤|1+xy|”．试分析污损部分的文字内容是什么？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）不等式两边同乘（a+b），使用基本不等式即可得出结论；
（2）将结论两边平方即可得出（x²-1）（1-y²）≤0，故只需1-y²≥0即可．

解答 证明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴（a+b）（$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{a}$）=a²+b²+$\frac{{a}^{3}}{b}$+$\frac{{b}^{3}}{a}$≥a²+b²+2ab=（a+b）²．
∴$\frac{a2}{b}$+$\frac{b2}{a}$≥a+b，当且仅当a=b时等号成立．
（2）污损部分的文字内容为“|y|≤1”．理由如下：
要证：|x+y|≤|1+xy|，只需证：（x+y）²≤（1+xy）²，即证：x²+y²≤1+x²y²，
只需证：（x²-1）（1-y²）≤0，
∵|x|≤1，故只需证：1-y²≥0即可．
∴估计污损部分的文字内容为“|y|≤1”．

点评 本题考查了不等式的证明，属于中档题．