Question

1．数列{a_n}中，a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对?n≥2，都有$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}{S}_{n}-{S}_{n}^{2}}$=1．则{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{-2}{n（n+1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 先化简已知的式子，把当n≥2时a_n=S_n-S_n-1代入化简后，由等差数列的定义判断出数列{$\frac{2}{{S}_{n}}$}是等差数列，由等差数列的通项公式求出$\frac{2}{{S}_{n}}$和S_n，代入已知的式子求出通项公式a_n，并验证n=1时是否成立．

解答 解：由题意得，对?n≥2，都有$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}{S}_{n}-{S}_{n}^{2}}$=1，
∴对?n≥2，都有$2{a}_{n}={a}_{n}{S}_{n}-{{S}_{n}}^{2}$，①
则$2（{S}_{n}-{S}_{n-1}）=（{S}_{n}-{S}_{n-1}）•{S}_{n}-{{S}_{n}}^{2}$，
化简得，2S_n-2S_n-1=-S_n-1•S_n，
两边同除-S_n-1•S_n得，$\frac{2}{{S}_{n}}$-$\frac{2}{{S}_{n-1}}$=1，
又a₁=1，数列{$\frac{2}{{S}_{n}}$}是以2为首项、1为公差的等差数列，
∴$\frac{2}{{S}_{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，则S_n=$\frac{2}{n+1}$，
代入①得，a_n=$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{S}_{n}-2}$=$\frac{（\frac{2}{n+1}）^{2}}{\frac{-2n}{n+1}}$=$\frac{-2}{n（n+1）}$，
令n=1代入上式得a₁=-1，不适合上式，
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{-2}{n（n+1）}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{-2}{n（n+1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的递推公式的化简以及应用，等差数列的定义、通项公式，以及数列通项公式与前n项和公式关系式的灵活应用，考查构造新的等差数列求出通项公式，化简、变形能力．