Question

15．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=β和θ=β-$\frac{π}{3}$（0＜β＜$\frac{π}{2}$）与圆C分别异于极点O的A，B两点．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出圆的普通方程，再转化为极坐标方程；
（2）由圆的参数方程可得|OA|=4cosβ，|OB|=4cos（$β-\frac{π}{3}$），使用三角恒等变换及β的取值范围得出|OA|+|OB|的最大值．

解答 解：（1）圆的普通方程为（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0，
∴圆C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）|OA|=4cosβ，|OB|=4cos（$β-\frac{π}{3}$），
∴|OA|+|OB|=4cosβ+4cos（β-$\frac{π}{3}$）=4cosβ+2cosβ+2$\sqrt{3}$sinβ=6cos$β+2\sqrt{3}sinβ$=4$\sqrt{3}$sin（$β+\frac{π}{3}$）．
∵0$＜β＜\frac{π}{2}$，
∴当$β+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即$β=\frac{π}{6}$时，|OA|+|OB|取得最大值4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题．