Question

 设曲线Ｃ：的离心率为，右准线与两渐近线交于Ｐ，Ｑ两点，其右焦点为Ｆ，且△PQF为等边三角形。
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C被直线截得弦长为，求双曲线方程；
（3）设双曲线C经过，以F为左焦点，为左准线的椭圆的短轴端点为B，求BF 中点的轨迹N方程。

Answer 1

（1）2
（2）或
（3）（或）

⑴如图：易得P                           
设右准线与轴的交点为M，
∵△PQF为等边三角形
∴|MF|=|PM|                                   
∴
化简得：                                       
∴
∴            
⑵ 由⑴知：
∴双曲线方程可化为：，即   
联列方程：
消去得：
由题意：   （*）                           
设两交点A，B
则
∴|AB|==
化简得：，即
解得：或，均满足（*）式              
∴ 或
∴所求双曲线方程为：或   
⑶由⑴知双曲线C可设为：
∵其过点A     ∴
∴双曲线C为：                          
∴其右焦点F，右准线：
设BF的中点N，则B               
由椭圆定义得：（其中为点B到的距离）
∴
化简得：
∵点B是椭圆的短轴端点，故
∴BF的中点的轨迹方程是：（或）