Question

如图所示，已知圆，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，，点的轨迹为曲线．

(Ⅰ) 求曲线的方程；
(Ⅱ) 若点在曲线上，线段的垂直平分线为直线，且成等差数列，求的值，并证明直线过定点；
（Ⅲ）若过定点(0，2)的直线交曲线于不同的两点、（点在点、之间），且满足，求的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意知，圆的圆心为，半径．
∵．
∴ 为线段的垂直平分线，∴ ．
又∵ ，∴ ．
∴ 动点的轨迹是以点（－1，0），（1，0）为焦点且长轴长为的椭圆．                                              ……………………2分                            
∴ ．
∴ 曲线的方程为．                    ……………………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲线的轨迹为椭圆，为右焦点，其右准线方程为
设到直线的距离为．
根据椭圆的定义知,
得．
同理可得：，．      ……………………5分
∵ 成等差数列，
∴ ，代入得．     ……………………6分
下面证明直线过定点．
由，可设线段的中点为（．
∴    得．
∴ 直线的斜率，则直线的方程为：，
即．                              ……………………8分
∴ 直线过定点，定点为．          　      ……………………9分
（Ⅲ）当直线斜率存在时，设直线方程为，
代入椭圆，得．
由得．                     　      ……………………10分
设，，    ①
 ．     ②
又∵ ，
即．       ∴ ．   ③
由①②③联立得，     
即，整理得 ． ………………12分
∵ ，∴ ，
∴ ，解得且．
又∵ ，  ∴ ．                 ……………………13分
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，即．
∴ ，即所求的取值范围是．         ……………………14分