Question

已知以点C为圆心的圆经过点A（3，1）和B（1，3），且圆自身关于直线2x+y-3=0对称．设直线l：y=x+m．
（1）求圆C的方程；
（2）设点Q在圆C上，若到直线l：y=x+m的距离等于1的点Q恰有4个，求m的取值范围？

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）依题意所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线2x+y-3=0的交点，用点斜式求得AB的垂直平分线方程，将它和直线2x+y-3=0联立方程组，求出圆心坐标，可得半径，从而求得圆的标准方程．
（2）当圆心到l：y=x+m距离小于1时，此时圆上恰有4点到l：y=x+m的距离等于1，即

|m|

2

＜1，由此求得m的范围．

解答： 解：（1）依题意所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线2x+y-3=0的交点．
由于AB中点M（2，2），故其垂直平分线为y=x．
联立

y=x 2x+y-3=0

解得

x=1 y=1

即圆心C(1，1)，半径r=2，∴所求圆方程为（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）当圆心到l：y=x+m距离小于1时，此时圆上恰有4点到l：y=x+m的距离等于1，
所以，

|m|

2

＜1 ，|m|＜

2

，
解得-

2

＜m＜

2

．

点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．