Question

13．给出下列四个命题：
①已知命题p：?x∈R，tanx=2；命题q：?x∈R，x²-x+1≥0，则命题“p∧q”为真命题；
②函数f（x）=2^x+2x-3在定义域内有且只有一个零点；
③已知圆O：x²+y²=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0＜θ＜$\frac{π}{2}}）$）．则圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为2；
④用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）的过程中，由n=k到n=k+1时，左边需增添的一个因式是2（2k+1）．其中，真命题的序号是①②④（把你认为正确的命题序号都填上）．

Answer 1

分析 ①根据命题p、q的真假来断定p∧q的真假．②根据两个函数的增减性来断定函数的零点个数．③有直线到圆的距离得出圆上o到直线的距离等于1的个数．根据“k”到“k+1”时，等式左边添加两项2k+1，2k+2，同时减少一项k+1，可判断④的真假

解答 解：命题p：?x∈R，tanx=2是真命题．x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥0恒成立．所以命题“p∧q”为真命题．①对．
f（x）=2^x+2x-3．可得y=2^x为增函数．y=3-2x为减函数．所以函数f（x）=2^x+2x-3在定义域内有且只有一个零点，②对．
圆心（0，0）到直线xcosθ+ysinθ=1（0＜θ＜$\frac{π}{2}}）$）的距离为1．圆的半径为$\sqrt{5}$
则圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4；③错．
由数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是$\frac{（2k+1）（2k+2）}{k+1}$=2（2k+1），故④正确．所以选①②④

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，数学归纳法的证明步骤，函数零点的个数判断等基础知识点是解答本题的关键