Question

已知向量

a

=(

3

sinωx，cosωx)，

b

=(cosωx，-cosωx)，(ω＞0)，函数f(x)=

a

•

b

+

1

2

的图象的两相邻对称轴间的距离为

π

4

，
（1）求ω；
（2）若x∈(0，

5

12

π)时，求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若cosx≥

1

2

，x∈(0，π)，且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．

Answer 1

由题意，f(x)=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx

=sin(2ωx- π 6 )

．
（1）∵两相邻对称轴间的距离为

π

4

∴T=

2π

2ω

=

π

2

，∴ω=2
（2）由（1）知f(x)=sin(4x-

π

6

)，令2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得

kπ

2

-

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

6

，k∈z又x∈(0，

5

12

π)，故函数的单调递增区间是（0，

π

6

)
（3）∵cosx≥

1

2

，又因为余弦函数在（0，π）上是减函数，∴x∈(0，

π

3

]
令f(x)=

a

•

b

+

1

2

=sin(4x-

π

6

)，g（x）=m，在同一直角坐标系中
作出两个函数的图象，可知：m=1或m=-

1

2