Question

【题目】设集合 ，如果存在的子集，，同时满足如下三个条件：

①；

②，，两两交集为空集；

③，则称集合具有性质.

（Ⅰ） 已知集合，请判断集合是否具有性质，并说明理由；

（Ⅱ）设集合，求证：具有性质的集合有无穷多个.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）不具有，理由见解析；（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）由条件易得集合具有性质，对集合中的进行讨论，利用题设条件得出集合不具有性质；

（Ⅱ）利用反证法，假设具有性质的集合有限个，根据题设条件得出矛盾，即可证明具有性质的集合有无穷多个.

解：(Ⅰ)具有性质，如可取；

不具有性质；理由如下：

对于中的元素，或者

如果，那么剩下个元素，不满足条件；

如果，那么剩下个元素，也不满足条件．

因此，集合不具有性质.

（Ⅱ）证明：假设符合条件的只有有限个，设其中元素个数最多的为.

对于，由题设可知，存在，满足条件. 构造如下集合

由于

所以

易验证，，对集合满足条件，而

也就是说存在比的元素个数更多的集合具有性质，与假设矛盾．

因此具有性质的集合有无穷多个.