Question

已知定义在R上的函数f（x）是周期为3的奇函数，当x∈（0，

3

2

）时，f（x）=sinπx，则函数f（x）在区间[0，5]上零点个数为（　　）

• A、0
• B、8
• C、7
• D、6

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数的周期性

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：讨论函数在一个周期内的函数解析式，再求零点，再由周期3，确定在区间[0，5]内的零点个数．

解答： 解：由于定义在R上的函数f（x）是周期为3的奇函数，
则当-

3

2

＜x＜0时，0＜-x＜

3

2

，由于当x∈（0，

3

2

）时，f（x）=sinπx，
则有f（-x）=sin（-πx）=-sinπx，又f（-x）=-f（x），
即有f（x）=sinπx（-

3

2

＜x＜0），由于f（0）=0，
则有f（x）=sinπx（-

3

2

＜x＜

3

2

），
令sinπx=0，解得，πx=kπ（k∈Z），即x=k，
在-

3

2

＜x＜

3

2

时，x=-1，0，1，f（x）=0，即一个周期内有3个零点，
在区间[0，5]上，f（0）=0，f（1）=0，f（2）=f（-1）=0，f（3）=0，
f（4）=f（1）=0，f（5）=f（2）=0，
则共有6个零点．
故选D．

点评：本题考查函数的周期性及运用，考查函数的零点的判断，注意考虑一个周期内的情况，属于中档题．