如图,在底面为平行四边形的四棱柱
中,
底面
,
,
,
．
(Ⅰ)求证:平面
平面
；
(Ⅱ)若
,求四棱锥
的体积．
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
.
解析试题分析：（Ⅰ）由,,，易得
，从而
平面，
由此可得平面平面．
(Ⅱ)思路一、由（Ⅰ）知，平面，所以
，即
是一个直角三角形，这样可得四边形
的面积.
又平面平面，所以过D作
的垂线，该垂线即垂直于平面，由此可得该棱锥的高，从而求得其体积.
思路二、将四棱锥分割为以下两部分：三棱锥
和
，这两个三棱锥的体积相等，我们可先求其中的一个. 而三棱锥即为三棱锥
，这个三棱锥的体积就很易求了.
试题解析：（Ⅰ）证明：在
中,由余弦定理得：
，
所以
,所以
,即
， 3分
又四边形为平行四边形,所以，又底面,
底面,所以
，
又
,所以平面, 5分
又平面
,所以平面平面． 6分
(Ⅱ)法一：连结，∵
，∴
∵平面，所以， 8分
所以四边形的面积
， 10分
取的中点
，连结
，则
，且
，
又平面平面
,平面
平面
，
所以
平面，
所以四棱锥的体积：
． 12分
法二: 四棱锥
学练快车道快乐假期寒假作业系列答案
新思维寒假作业系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图（如图），其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示（单位cm）；
（1）求出这个工件的体积；
（2）工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用（精确到整数部分）.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知四棱锥
平面
，底面为直角梯形，
，且
,
.
（1）点
在线段
上运动，且设
，问当
为何值时，
平面
，并证明你的结论；
（2）当面，且
，
求四棱锥
的体积.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，△
中，
，
，
，在三角形内挖去一个半圆（圆心
在边
上，半圆与
、
分别相切于点
、
，与交于点
），将△绕直线旋转一周得到一个旋转体。
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C丄平面ABCD，且AB=BC＝CA=
,AD=CD=1.
求证：BD⊥AA1；
若四边形
是菱形，且
，求四棱柱
的体积.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知几何体
的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
(Ⅰ)求此几何体的体积；
(Ⅱ)求异面直线
与
所成角的余弦值；
(Ⅲ)探究在上是否存在点Q，使得
，并说明理由．
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），
的底面是正方形，
底面
，
，
，点
、
分别为棱
、
的中点.
平面
；
平面
；
的体积.
中,
分别是
的中点,
.
;
的体积.