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如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C丄平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.

求证:BD⊥AA1
若四边形是菱形,且,求四棱柱的体积.

详见解析;

解析试题分析:在底面ABCD中,由各边的关系可知再由面面垂直的性质定理可得平面,从而证得BD⊥AA1由于四棱柱底面各边及对角线CA长度都已知,故其面积容易求得.而易知四棱柱的高即菱形中AC边上的高,由可得高,所以可得四棱柱体积V=.
试题解析:(Ⅰ)在四边形中,因为,所以    2分
又平面平面,且平面平面
平面,所以平面                     4分
又因为平面,所以.                      6分
(Ⅱ)过点于点,∵平面平面 

平面
为四棱柱的一条高         8分
又∵四边形是菱形,且
∴ 四棱柱的高为              9分
又∵ 四棱柱的底面面积  10分
∴ 四棱柱的体积为           12分
考点:1.面面垂直性质定理;2.棱柱的体积公式;3.解三角形.

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