(本小题满分13分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图,俯视图,在直观图中,M是BD的中点,N是BC的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(1)求该几何体的体积;
(2)求证:AN∥平面CME;
(3)求证:平面BDE⊥平面BCD
(1)4 ;(2)连接MN,则MN∥CD,且.又AE∥CD,且,
∴∥,=∴四边形ANME为平行四边形,∴AN∥EM.∵AN平面CME,EM平面CME,∴AN∥平面CME (3)∵AC=AB,N是BC的中点,∴AN⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,∴AN⊥平面BCD则(2)知:AN∥EM,∴EM⊥平面BCD,又EM平面BDE,∴平面BDE⊥平面BCD
解析试题分析:(1)由题意可知:四棱锥B-ACDE中,平面ABC⊥平面ACDE,AB⊥AC,
AB⊥平面ACDE,又AC=AB=AE=2,CD=4, …………2分
则四棱锥B-ACDE的体积为:,
即该几何体的体积为4 …………4分
(2)证明:由题图知,连接MN,则MN∥CD,
且.又AE∥CD,且, …………6分
∴∥,=∴四边形ANME为平行四边形,∴AN∥EM.
∵AN平面CME,EM平面CME,∴AN∥平面CME ……………8分
(3)证明:∵AC=AB,N是BC的中点,∴AN⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCD,∴AN⊥平面BCD …………10分
则(2)知:AN∥EM,
∴EM⊥平面BCD,又EM平面BDE,∴平面BDE⊥平面BCD ……13分
考点:本题考查了空间中的线面关系
点评:高考中常考查空间中平行关系与垂直关系的证明以及几何体体积的计算,这是高考的重点内容.证明的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C丄平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.
求证:BD⊥AA1;
若四边形是菱形,且,求四棱柱的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.
(Ⅰ)求此几何体的体积;
(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)探究在上是否存在点Q,使得,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是,侧棱长是3,点E、F分别在BB1、DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.
(1)求证:A1C⊥面AEF;
(2)求截面AEF与底面ABCD所成二面角的正切值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分14分)已知四边形满足∥,,是的中点,将沿着翻折成,使面面,为的中点.
(Ⅰ)求四棱锥的体积;(Ⅱ)证明:∥面;
(Ⅲ)求面与面所成二面角的余弦值.
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