Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的离心率

2

2

，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为

2

+1，过M（2，0）任作一条斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交与不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为Q．
（1）当k=-

3

3

时，求证：Q、F、B三点共线；
（2）求△MBQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

e= c a = 2 2 a+c= 2 +1 a2=b2+c2

，从而求出椭圆方程为

x2

2

+y2=1．设直线l的方程为y=k（x-2），由方程组

y=k(x-2) x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识结合已知条件能证明Q，F，B三点共线．
（2）S_△BMQ=

1

2

|BF|•(|y1|+|y2|)，由此利用椭圆弦长公式和基本不等式能求出△BMQ面积S的最大值．

解答： （1）证明：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，
椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为

2

+1，
∴

e= c a = 2 2 a+c= 2 +1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
设直线l的方程为y=k（x-2），B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），则Q（x₂，-y₂），
由方程组

y=k(x-2) x2+2y2=2

，消去y，得：
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，①
∴

△=-8(2k2-1)≥0 x1+x2= 8k2 1+2k2 x1x2= 8k2-2 1+2k2

．②
当k=-

3

3

时，

△= 8 3 ＞0 x1+x2= 8 5 x1x2= 2 5

，
∵

FQ

=(x2-1，-y2)，

FB

=（x₁-1，y₁），
（x₂-1）y₁+y₂（x₁-1）y₁+y₂（x₁-1）
=（x₂-1）k（x₁-2）+k（x₂-1）（x₁-1）
=k[2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4]
=k（2×

2

5

-3×

8

5

+4）=0，
∴

FQ

∥

FB

，从而Q，F，B三点共线．
（2）S_△BMQ=

1

2

|BF|•(|y1|+|y2|)
=

1

2

(|y1|+|y2|)
=

1

2

|k(x1+x2)-4k|
=

4|k|

1+2k2

=

4

2|k|+ 1 |k|

≤

2

．
当且仅当“k2=

1

2

”时，等号成立，
∴△BMQ面积S的最大值为

2

．

点评：本题考查三点共线的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．