Question

已知函数f（x）=log₂（-x²+6x-5）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的单调增区间和单调减区间；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，-x²+6x-5＞0，从而求函数f（x）的定义域；
（2）由题意，令μ=-x²+6x-5，由复合函数的单调性判断函数f（x）的单调增区间和单调减区间；
（3）由（2）知，log₂u在区间（0，4]上是增函数，从而求函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）由题意得：-x²+6x-5＞0，解得1＜x＜5，
∴函数f（x）的定义域是（1，5）．
（2）∵μ=-x²+6x-5在区间（1，3]上是增函数，且函数f（x）=log₂u在R上也是增函数，
∴函数f（x）的单调增区间是：（1，3]．
同理可得函数f（x）的单调减区间是：[3，5）．
（3）∵log₂u在区间（0，4]上是增函数，
∴函数f（x）的值域是：（-∞，2]．

点评：本题考查了复合函数的定义域，单调区间及值域的求法，属于中档题．