Question

已知函数f（x）=x，数列{a_n}满足a_n=f（n+1）（n∈N⁺）
（Ⅰ）求数列{

1

anan+1

}的前n项和S_n；
（Ⅱ）关于x的不等式mx²-1≥f（x）（x＜0）能成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件结合函数表达式，得

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

anan+1

}的前n项和．
（Ⅱ）原题等价于mx²-x-1≥0在（-∞，0）内有解，由此利用m=0、m＞0、m＜0三种情况进行分类讨论，结合一元二次不等式的解的情况能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x，数列{a_n}满足a_n=f（n+1）（n∈N⁺），
∴a_n=n+1，
∴

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴数列{

1

anan+1

}的前n项和：
S_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

．
（Ⅱ）∵关于x的不等式mx²-1≥f（x）（x＜0）能成立，
∴mx²-x-1≥0在（-∞，0）内有解，
当m=0时，-x-1≥0，解得x≤-1，成立；
当m＞0时，解方程mx²-x-1=0，得x₁=

1- 1+4m

2m

，x₂=

1+ 1+4m

2

，
∴mx²-x-1≥0的解集为x≥

1+ 1+4m

2m

或x≤

1- 1+4m

2m

，成立；
当m＜0时，由△=1+4m＞0，得-

1

4

＜m＜0，
解方程mx²-x-1=0，得x₁=

1- 1+4m

2m

＞0，x₂=

1+ 1+4m

2

＞0，
∴mx²-x-1≥0的解集为

1- 1+4m

2m

＜x＜

1+ 1+4m

2

，在x＜0内无解，不成立．
综上，实数m的取值范围是{m|m≥0}．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂基求和法和一元二次不等式的性质的合理运用．