Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2，又AA₁⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC₁的中点．
（1）求证：AE⊥平面A₁BD；
（2）求点B₁到平面A₁BD的距离．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，确定向量坐标，利用数量积为0，即可证得结论；
（2）

B1B

=（0，2，0），平面A₁BD的法向量取

n1

=（2，1，0），利用距离公式可求点B₁到平面A₁BD的距离．

解答： （1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），C（-1，0，0），E（-1，-1，0），A₁（1，-2，0），C₁（-1，-2，0），B（0，0，

3

），
∴

AE

=（-2，-1，0），

A1D

=（-1，2，0），

BD

=（0，0，-

3

），
∴

AE

•

A1D

=0，

AE

•

BD

=0，
∴

AE

⊥

A1D

，

AE

⊥

BD

，
又A₁D与BD相交，
∴AE⊥面A₁BD．        
   
（2）

B1B

=（0，2，0），
设面DA₁B的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），则

-x1+2y1=0 z1=0

，不妨取

n1

=（2，1，0），
则B₁到平面A₁BD的距离为d=|

B1B • n1

| n1 |

|=

2 5

5

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查线面垂直，考查面面角，考查点到面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．