Question

（1）求证：

tanα•sinα

tanα-sinα

=

tanα+sinα

tanαsinα

（2）证明

2(cosα-sinα)

1+sinα+cosα

=

cosα

1+sinα

-

sinα

1+cosα

．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用商的关系、二倍角公式分别化简左边和右边，即可证明原结论成立；
（2）利用平方关系、商的关系，二倍角公式分别化简左边和右边，即可证明原结论成立．

解答： 证明：（1）左边=

sinα cosα •sinα

sinα cosα -sinα

=

sinα

1-cosα

=

2sin α 2 cos α 2

2sin2 α 2

=

cos α 2

sin α 2

，
右边=

sinα cosα +sinα

sinα cosα •sinα

=

1+cosα

sinα

=

2cos2 α 2

2sin α 2 cos α 2

=

cos α 2

sin α 2

，
所以左边=右边，即原结论成立；
（2）左边=

2(cosα-sinα)

2cos2 α 2 +2sin α 2 cos α 2

=

cosα-sinα

cos α 2 (cos α 2 +sin α 2 )

，
右边=

cos2 α 2 -sin2 α 2

sin2 α 2 +cos2 α 2 +2sin α 2 cos α 2

-

2sin α 2 cos α 2

2cos2 α 2

=

cos α 2 -sin α 2

sin α 2 +cos α 2

-

sin α 2

cos α 2

=

cos2 α 2 -sin α 2 cos α 2 -sin2 α 2 -sin α 2 cos α 2

cos α 2 (sin α 2 +cos α 2 )

=

cosα-sinα

cos α 2 (cos α 2 +sin α 2 )

所以左边=右边，即原结论成立．

点评：本题考查平方关系、商的关系，二倍角公式，熟练掌握公式是解题的关键，考查化简、变形能力．