Question

【题目】动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两个不同的点，过点、分别作曲线的切线，且二者相交于点.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）求证： ；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）题设条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离

∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，可得方程为；（Ⅱ）设直线的方程为： ，由得，根据韦达定理，可得， ，利用导数的几何意义可得两切线的方程，两方程联立可得，再根据平面向量数量积公式化简可得结论.

试题解析：（Ⅰ）由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离

∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线故其方程为.

（Ⅱ）证：设直线的方程为：

由得：

设， ，则，

由得： ，∴

∴直线的方程为： ①

直线的方程为： ②

①-②得： ，即

将代入①得：

∴故

∴，

∴