Question

7．若a，b∈R^*且4^a•4^b=32，则3ab的最大值为$\frac{75}{16}$，当且仅当$\frac{5}{4}$时取等号．

Answer 1

分析 4^a•4^b=32，利用指数幂的运算性质可得：a+b=$\frac{5}{2}$．利用基本不等式的性质可得：3ab≤3$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，即可得出．

解答 解：∵4^a•4^b=32，
∴2^2a+2b=2⁵，
∴a+b=$\frac{5}{2}$．
又a，b∈R^*，
∴3ab≤3$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{75}{16}$，当且仅当a=b=$\frac{5}{4}$时取等号．
故答案分别为：$\frac{75}{16}$，$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．